Электрификация

Справочник домашнего мастера

Ноль это бесконечность

Содержание

Что будет если 0 умножить на бесконечность?

Что будет если 0 умножить на бесконечность? Каждый человек еще со школьных уроков помнит, что делить на ноль нельзя. В школе это заучивается как прописная истина.

Такое правило существует по той причине, что любое деление на ноль в рамках математической науки будет подразумевать результат, равный бесконечности. И если вопрос о делении рождает заученный ответ, то с умножением все не так просто. Но ответ на вопрос о том, что будет, если 0 умножить на бесконечность, найти не столь трудно. Так каким же будет результат подобного умножения?

И в рамках школьного курса, и знакомясь с основами высшей математики в университете, существуют операции, проводимые с нулем. Его умножают, вычитают, прибавляют. Однако 0 подразумевает под собой пустоту, полное отсутствие чего-либо. Если к 3 прибавить 0, то результат останется равный тройке. Операция умножение же будет предполагать результат, равный нулю. Эта информация известна со школьной скамьи. Потому в рамках простых чисел не возникает вопросов. А что же с умножением нуля на бесконечность? Подобная операция – прием не запрещенный. Однако конечный результат может удивить, в рамках него легко проводится параллель с делением на 0. Если провести операцию умножения нуля на бесконечность, то в результате получится все та же бесконечность, но состоящая из нулей. Таким образом, с помощью подобного действия невозможно получить какое-либо числовое значение, даже приближенное к сверхбольшим числам.

Сразу скажу, что все, что я опишу — не совпадает с классической математикой, а является лишь рассуждением и предположением.
Деление на ноль дает бесконечность. Умножение нуля на +бесконечность дает набор чисел от 0 до +бесконечности. Возведение 0 в 0-вую степень дает набор чисел от -бесконечности до +бесконечности.
1. Деление на 0.
Делить на 0 запрещено. Так учили в школе. Но если поразмышлять, то деление на ноль даст ответ бесконечность. Под бесконечностью здесь понимается не все числа вместе взятые, а какое-то абстрактное число, которое больше любого другого. То есть, число без границ. Так, например деление 3 на 0.1 даст 30; 3 на 0.01 — 300; 3 на 0.0000001 даст 30000000. Как видно, чем ближе число к нулю, тем больше нулей будет после числа в ответе. Тем большим будет число. В итоге, если поделить на сам 0, будет число с бесконечным числом нулей после него. Поскольку нулей бесконечно, то это число равно бесконечности.
2. Умножение 0 на бесконечность.
Еще один запрещенный метод. Классически он дает неопределенность. Но если порассуждать логически, то ответом будут все числа от 0 до +бесконечности.
Кстати, что любопытно, это правило применимо в повседневной жизни постоянно. Без него было бы невозможным существование пространства и геометрических фигур, включая гаджет, с которого вы читаете этот текст. Наше пространство трехмерно, но трехмерные фигуры, например дома, в которых мы живем состоят из бесконечного множества двухмерных срезов с нулевой толщиной и ненулевой длинной и высотой. И из таких двухмерных срезов с нулевой толщиной образуются различные фигуры с различной толщиной. Вот и получается бесконечность (бесконечно срезов) * 0 (нулевая толщина) = предметы с разной толщиной. В свою очередь двухмерные срезы с нулевой толщиной состоят из бесконечного множества одномерных линий с нулевой высотой, а те в свою очередь состоят из бесконечного множества нольмерных точек, которые вообще не имеют размера. Получается, что все фигуры в мире, включая людей, Землю и Вселенную являются результатом умножения 0 на бесконечность.
Отрицательные числа не подходят. Подходят только положительные. Потому, что если 3 / 0 = +бесконечность, то +бесконечность * 0 = 3. Но в то же время, уравнение будет справедливо если вместо 3 поставить 5 или 3.14, или 8642963.7875, или любое другое положительное число. А вот если взять отрицательное число, то -3 / 0=-бесконечность. А потому +бесконечность*0 не равно -3, или любому другому отрицательному числу. Кстати, возможность нескольких правильных ответов вместо 1 — не такая уж и редкость. Например, в квадратных уравнениях часто получается 2 правильных ответа. Во многих других уравнения, бывает набор правильных ответов, при извлечении квадратного корня подходят 2 ответа, а при умножении 0 на +бесконечность подходит набор положительных чисел от 0 до +бесконечность.
3. Возведение 0 в степень 0.
Данный прием и вовсе даст набор ответов от -бесконечность до +бесконечность. Обычно при возведении числа в степень 0 будет 1, потому, что, например 4^0 * 4^2 = 4^(0+2) = 4^2, отсюда следует, что 4^0 = 1. Но если возводить 0 в любую степень, то обычно получается 0. Если же применим упомянутый метод, то получится, что 0^0 * 0^2 = 0^(0+2) = 0^2 = 0. Чему тогда равно 0^0? Да чему угодно, потому, что любое число, умноженное на 0, как положительное, так и отрицательное дает 0. В итоге, 0^0 * 0^2 = 3 * 0^2 = -3 * 0^2 = 1.028 * 0^2 = 0. Кстати, поскольку 0 * бесконечность = 0… +бесконечность, которая включает 0, как частный случай, то и +бесконечность тоже подходит. Аналогично будет и для -бесконечность. Поэтому 0^0 = набор чисел от -бесконечность до +бесконечность.
Пока что напишу об этих трех вещах, которые заметил. Может быть позже напишу еще о некоторых.

Многомерные числа или Ноль — имеет значение, а Бесконечность- конечна! Деление на Ноль!

Разделы: Информационные технологии, Математика
Размещена 03.02.2020. Последняя правка: 13.02.2020.
Просмотров — 541

Зиновьев Василий Владимирович

Филиал ПАО Ленэнерго СПбВС

Заместитель главного инженера ЦВВР

Аннотация: В статье описан принципиально новый метод представления чисел, с помощью которого возможно решить проблему потери данных при умножении на ноль и получения неопределённости при делении на ноль.
Abstract: The article describes a fundamentally new method of representation of numbers, with which it is possible to solve the problem of data loss when multiplying by zero and getting uncertainty when dividing by zero.
Ключевые слова: деление на ноль; оперирование бесконечностью; многомерные числа Keywords: division by zero; infinity operation; multidimensional numbers

УДК 519.61

Введение:

Исторически «ноль» является проблемой в математике: с одной стороны, без ноля невозможно представить современную математику, с другой, использование ноля накладывает некоторые ограничения в расчётах (например, деление на ноль).

Актуальность:

В большинстве случаев математики и программисты смирились с неудобствами в расчётах, связанных с нолём, получение неопределённости при делении на ноль и потеря данных при умножении на ноль.

Новый метод представления чисел может дать возможность «не смирившимся» делить и умножать на ноль и бесконечность бесконечно много раз и при этом не «терять» результат расчётов.

Научная новизна:

Предлагаемое принципиально новое понимание ноля и бесконечности может раскрыть для научного мира множество парадоксов и решить до сего момента нерешённые задачи.

История ноля и его представление в современной математике:

Понятие ноля и бесконечности в истории отлично описано Чарльзом Сейфе .

Современное понимание ноля и бесконечности:

Ноль — это «портал» в другие миры:

Те, кто из нас помнят начальную школу, могут сказать, что там нас учили: 0 — это пустота или отсутствие чего-либо. Если у Тани 0 яблок, а у Саши 5 яблок, сколько у Тани и Саши яблок?

0+5=5;

Нет сомнений, ни у кого не может быть меньше 0 яблок.

Первый портал ноля:

Но потом, в средней школе оказалось, что существуют числа меньше ноля.


Появление отрицательных чисел стало логическим продолжением оператора вычитания «-«, когда из меньшего числа мы вычитаем большее, само появление отрицательных чисел никого не смутило (за малостью лет мы не задали вопрос Марье Ивановне, мол, а как может быть у Тани меньше 0 яблок), и мы приняли это как данность, и пошли дальше.

Второй портал ноля:

Вроде всё ясно, числа могут быть положительными и отрицательными (ты можешь быть в прибыли, а можешь получить убыток), и мы все с этим смирились.

Но вот оказалось, что всё не так просто:

Возведение в степень и извлечение корня из отрицательного числа не давали однозначных решений и тогда появилась гениальная теория мнимых чисел, она всё нам объяснила.

Корень из отрицательного числа может быть как положительным, так и отрицательным (это число назвали мнимым, оно и существует и нет одновременно).

Прекрасно мнимые числа описаны Марком Беньевичем Балк .

Вроде всё понятно, но…

Третий (крайний) портал ноля:

Что делать, когда нам приходиться делить на ноль?

Всё, что нам объяснили в школе (кроме примера с калькулятором), так то, что при делении на ноль получается «бесконечность».

Бесконечность? А что это такое? Это не число! Это то, что поглощает любые числа. Все числа делятся на все, кроме ноля, поделив на ноль мы получаем «бесконечность», то есть «не число»!

Те, кто учился в институте, могут вспомнить ещё вот эту картинку:

Но нам никто не рассказал, что делать с вот этими выражениями:

Все эти уравнения не имеют решения.

Те из нас, кто глубоко изучал высшую математику, ещё вспомнят вот эту картинку:

Это сфера Римана, которая объясняет нам проблему деления на ноль и что в итоге этого деления получается.

Прежде чем перейти к сути, немного поразмышляем.

Давайте на время забудем о том, чему нас учили и попробуем ответить на несколько вопросов про бесконечность. Так, как вы это понимаете на житейском уровне.

Вопросы о бесконечности:

Что больше: ∞ или ∞? Очевидно, что они равны? Или нет?

Что больше: ∞ или ∞+100? Или они равны? Или нет?

А если так: ∞ или ∞+10000000000000?

А так: ∞ или ∞*2? Так, кажется, точно второе значение больше?

А если так: ∞ или ∞*∞? Вот тут, то сто процентов правое выражение больше?

Классическая математика говорит о том, что все эти выражения не имеют ответа, то есть, нельзя поставить ни один из знаков неравенства.

Несмотря на то, что ниже приведённые умозаключения противоречат самому понятию «бесконечности», прошу Вас прочесть их и постараться понять.

Если представить, что бесконечность имеет какой-то конечный вид, то было бы логичным заключение о том, что две бесконечности больше чем одна. А бесконечно много бесконечностей, тем более больше, чем просто бесконечность.

Оказывается, если поменять представление о бесконечности, то становиться возможным оперировать ею, как обычным числом. При этом, изящно решить проблемы деления на ноль и потери данных при умножении на ноль. Для того, чтобы числа не растворялись в бесконечности, необходимо принять постулаты:
-бесконечность конечна;
-она есть обратное от ноля;
-бесконечность возникает в следствии деления любого числа (кроме ноля) на ноль, при этом делимое число переходит в следующее измерение.

Многомерные числа и их представление.

Для начала, дадим некоторые определения выражениям, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

Классический ноль – это тот самый ноль (в классической математике), при умножении на который любого числа, мы получаем классический ноль, а при делении на него — получается неопределённость (классическая бесконечность).

Классическая бесконечность — эта та самая бесконечность (неопределённость), в которой растворяются все числа при использовании её в качестве оператора.

Многомерный ноль – это любое число, делённое на бесконечность (многомерную бесконечность), в первом представлении многомерный ноль это n *∞-1 , где n — любое (классическое) число, не равное классическому нулю или классической бесконечности, например единица. В дальнейшем первоначальный ноль при автозаполнении баз данных будем представлять именно как 1 *∞-1. Это выражение не противоречит классической математике, т.к. любое число, делённое на бесконечность, это ноль. Для понимания: в общем случае многомерный ноль это n *∞-m , где m – целочисленное число от 1 до ∞.

Многомерная бесконечность – это любое число, умноженное на бесконечность (многомерную бесконечность) в первом представлении многомерная бесконечность это n *∞1 где n — любое (классическое) число не равное классическому нулю или классической бесконечности, например, единица (1). В общем случае многомерная бесконечность это n *∞m , где m – целочисленное число от 1 до ∞.

Число нулевого (существующего) измерения – это классическое число, представленное в многомерном выражении как n *∞0.

Размерность (измерение) – это целочисленное число, в степень которого возведена бесконечность. В представлении многомерных чисел функции сложения и вычитания возможны только с числами той же размерности (измерения). Размерность может быть отрицательной (-1,-2,-3… -m), нулевой и положительной (1,2,3… m).

Итак, в общем случае действительные числа 1, 2,3 и т.д. необходимо представить в следующем виде:

1 *∞0, 2 *∞0 ,3 *∞0 и т.д.

Где степень, в которую возведена бесконечность говорит об измерении, в котором находится значение.

То есть, нулевая степень – значит наше обычное (классическое) измерение.

(-1) «минус первая» как и -2, и -3…. и т.д. степень говорит о том, что это значение на одно или несколько измерений ниже классического и в представлении классической математики это ноль.

Соответственно 1, 2, 3 и т.д. степень говорит нам о том, что значение находится на одно или несколько измерений выше чем классическое и в классическом случае это бесконечность.

для начальных условий принимаем 0= 1 *∞-1

Если делим на ноль любое число, то степень бесконечности увеличивается на единицу, если умножаем — то уменьшается.

И получаем : Х / 0 = Х/(1 *∞-1) =х*∞1

То есть обычную в нашем понимании бесконечность, но при этом число не теряется в бесконечности, а остаётся для дельнейших расчётов. Если в последующих расчётах его умножить на многомерный ноль (1 *∞-1), то степень бесконечности уменьшиться и число не будет потеряно.

Таким образом, исключается потеря данных при умножении или делении на ноль.

Многомерная арифметика (или сложение и вычитание бесконечностей с обычными числами):

Если обычное число представить как:

Х*∞0+ Х*∞-1+….. Х*∞-n…. Х*∞-∞ становиться ещё интереснее.

В программировании можно задать бесконечный список, с помощью которого можно описать вышеприведённое число.

Теперь можно вычитать и складывать бесконечность с обыкновенными числами без потери данных.

Например:

1*∞1 + 20*∞0
Машина поймёт, что к числу первого порядка прибавляется число нулевого порядка, и запишет в память, именно так:

1*∞1 + 20*∞0 если в последующем будут прибавляться или вычитаться числа нулевого порядка, то действия сложения или вычитания будут производиться именно с нулевым порядком, то же самое относиться ко всем остальным меньшим порядкам этого числа. В общем случае: складываться или вычитаются числа соответствующих порядков.

Правила умножения и деления в многомерной арифметике, такие же как в классической арифметике с умножением и делением: результатом умножения одного многомерного числа (Х) на другое (Y), станет такое многомерное число (Z), в котором сложатся произведения каждого измерения числа (Х) со старшим измерением числа (Y)

Пример:

(5*∞0 + 20*∞-1)*(2*∞1 + 5*∞0) =10*∞1 + 40*∞0

Деление многомерных чисел аналогично с умножением, каждая размерность делимого делится на старшее измерение многомерного числа:

(10*∞1) + (40*∞0) / ((2*∞1) + 5*∞0) = ((5*∞0) + 20*∞-1)

Получаем интересный эффект. Если в процессе вычислений мы многократно складываем нули и бесконечности, делим и умножаем, то числовое значение не теряется.

Таким образом, можно число, сколь угодно много раз, умножить на ноль, а после этого столько же раз разделить на ноль, то мы увидим то самое число.
В нижеприведённом примере, для полного представления о качественных изменениях при использовании многомерной арифметики, будем оперировать нолями и бесконечностями так, как это было бы при расчёте с помощью некой программы ЭВМ.



Из полученных результатов видно: классическая арифметика, при расчёте тока, протекающего через нулевое сопротивление, выдаёт ошибку.

В то время, как многомерная арифметика не только не «спотыкается» об ошибки деления на ноль, но и даёт однозначно точный расчёт токов, протекающих через нулевые сопротивления.
Не смотря на то, что многомерная арифметика кажется сложнее в данном примере, в сложных расчётах с большими базами данных она значительно упрощает счёт и исключает возникновение неопределённости.

Реализация в программировании:

Прошу прощения за синтаксис (языка программирования), главное понять идею. Для примера использован С++.
Создаём некий класс или структуру (кому как удобно), например multinumber

Со следующими членами:

int dimension; //степень бесконечности, по умолчанию для всех чисел кроме ноля степень бесконечности равна 0; для ноля -1.

float value; // собственно само значение числа, может быть отрицательным и положительным.

*multinumber littlenumber //указатель на следующего члена многомерного числа нижнего порядка. На начальном этапе он равен NULL.

Функции:

конструктор// для вводимых данных, где пользователем или программой задаются значения dimension и value.

деструктор// в котором не забываем прописать рекуперативное удаление всех младших членов.

Ну и собственно, перегружаем арифметические функции для членов этого класса(или структуры):

Для «+» и «-» если степень бесконечности равны и нет младших членов, то соответственно сумируем или вычитаем значение value и возвращаем с тем же значением dimension, если у слагаемых есть младшие члены, то соответственно, делаем с ними тоже самое. Если dimension не равны, то слагаемому с большим значением степени бесконечности, добавляем littlenumber с указателем на слагаемое с меньшим значением dimension.

Для «*» для старших членов умножаемых multinumber, перемножаем value и суммируем dimension, если есть младшие члены, то в возвращаемом multinumber добавляем соответствующие littlenumber в соответствии с правилами умножения многомерных чисел.

Для «/» для старших членов multinumber соответственно вычитаем dimension и соответственно делим value, если есть младшие члены, то в соответствии с правилами деления многомерных чисел, делим их.

Можно также прописать функцию отображения значений для пользователя, где у нас три варианта значений:

с dimension меньше ноля — отображаем «0»;

dimension = 0; — отображаем value;

и dimension больше ноля — отображаем «infinity»

Теперь подставляем вместо обычных float, наш multinumber и вуа-ля, наслаждаемся делением на ноль и безстрашно оперируем бесконечностью.

Эта числовая модель работает на всех видах числовых данных, в том числе опробована на комплексных числах.

Библиографический список:

1. Чарльз Сейфе. Ноль: биография опасной идеи, 2014
2. Балк М.Б. Реальные применения мнимых чисел, 1988

Рецензии:
3.02.2020, 13:39 Голик Феликс Валентинович
Рецензия: Тема актуальна: с потерей данных и произвольной заменой «бесконечности» достаточно большим числом сталкиваться при численных компьютерных расчетах приходится часто. Можно только удивляться, почему предложенное автором решение проблемы не появилось раньше. Структура и содержание статьи, логика изложения материала соответствую научному стилю публикаций. Выводы автора статьи имеют под собой строгую научную основу. Мысли сформулированы ясно и изложены логично. Внедрение «многомерной арифметики» в компьютерные программы численного анализа позволит, на наш взгляд, сделать расчеты более корректными. Вызывает некоторое сомнение термин «многомерное число». Может быть здесь лучше говорить о порядке или ранге? Число n-го порядка? Считаю, что статья может быть опубликована в журнале SCI-ARTICLE.

03.02.2020 14:14 Ответ на рецензию автора Зиновьев Василий Владимирович:
Феликс Валентинович, огромное спасибо за положительный отзыв! Надеюсь, что этот метод будут использовать. Название «многомерное число» лично для меня не принципиально, главной целью было донести идею.
6.02.2020, 15:38 Усов Геннадий Григорьевич
Рецензия: В статье есть фраза: «Прошу прощения за синтаксис, главное понять идею,..» Вообще, эту фразу надо убрать из статьи. Идея подаётся через публикацию, а статья имеет кучу синтаксических ошибок. Получается, что есть положительная рецензия, и, согласно правилу журнала, статья будет опубликована. А как же отсутствие в статье большого числа знаков препинания, после точек идут строчные буквы, после слова «пример» и самого примера, где 2 колонки, идут 4 непонятные колонки с текстами, и т.д. Поэтому статья должна быть доработана перед публикацией с использованием любого текстового редактора.
09.02.2020 12:12 Ответ на рецензию автора Зиновьев Василий Владимирович:
Уважаемый Геннадий Григорьевич! Огромное спасибо, за ваше желание сделать статью лучше! Я постарался учесть все Ваши замечания. Исправил синтаксические и орфографические ошибки (те из них, которые нашёл), добавил наглядный пример, а так же исправил логические ошибки в самой статье. Убрал «непонятные колонки с текстами». Фразу с синтаксисом не стал убирать, так как здесь имел ввиду «синтаксис языка программирования». Честно признаться, мой родной язык, для меня «ахиллесова пята», а статья писалась фрагментарно, урывками по выходным, поэтому получилась запутанной для понимания. Хотелось бы отметить, что мне льстит тот факт, что Вы расчехлили «меч рецензора» ради моей статьи. Для меня честь — стать Вашим первенцем. С наилучшими пожеланиями, Зиновьев В.В.
Комментарии пользователей:

3.02.2020, 15:17 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Василий Владимирович! В статье рассматривается интересная проблема при работе компьютерных программ. В аннотации Вы говорите о потере данных? Но данные не теряются. Если продолжать Ваше рассуждения в начале статьи, то умножение числа n на m означает, что m раз «взяли» число n. А если умножение на 0, то это означает, что Вы «не взяли» ни одно из чисел n. Аналогично про деление: деление на m означает получение m-ой части числа n, а деление на 0 означает, что деления не было. На счет представления результата деления на 0 в программе: в Wikipedia есть статья «деление на ноль», в которой говорится о способах представления результата деления на 0 в программе (стандарт IEEE 754). И ещё один момент: у каждой операции должна быть обратная операция, а об этом в статье ни слова. Если n делится на 0, то получается некоторая переменная. А если эту переменную умножаем на 0, то должно получиться n. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.

3.02.2020, 15:36 Зиновьев Василий Владимирович
Отзыв: Здравствуйте, Геннадий Григорьевич! даже не знаю как ответить на Ваш отзыв. В статье описывается способ, как можно умножить на ноль любое число, а потом его разделить на ноль и получить то самое число которое было в начале, возможно необходимо добавить конкретный пример, чтоб было понятно. На стандарт IEEE 754 не обращайте внимание, он ни чего не даёт, кроме обхода ошибки компьютера при попытке деления на ноль и выдаче понятного пользователю значения такого деления.

3.02.2020, 16:27 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Василий Владимирович! Конечно, нужен конкретный пример. При этом нужно показать: а что можно выиграть от применения этого метода. И за этим последуют выводы о применимости данного метода, которые должны будут отдельно представлены. И что-то добавится в аннотацию. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.

10.02.2020, 9:32 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Василий Владимирович! Над синтаксисом Вам ещё работать. Запомните правило: если предыдущая строка заканчивается на точку, то следующая строка начинается с большой буквы. Если предыдущая строка заканчивается на другие знаки препинания или без знака, то следующая строка начинается с маленькой буквы. С электротехникой мало знаком. Одно непонятно: зачем рассматривать контур (3-ий), который «перегорожен» бесконечным соротивлением? Не лучше ли его обойти? И останется только 2 контура — экономия вычислений. А то из-за 3-его контура приходится создавать новую теорию. Кстати, почему Вы не указали раздел «электротехника»?

Открытый урок «Влияние кэффициентов a, b и c на рас-положение графиков квадратичной функции»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Глуховская школа-интернат №2

г. Ногинск Московской обл.

Конспект открытого урока по теме:

«ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b И с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ

ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ»

Урок составлен и проведён:

учителем математики

МБОУ ГШИ №2 Потапова С.А.

дата проведения: 18. 10. 2018 уч.г.

г. Ногинск

Обобщающий урок по алгебре 9-А класс

по теме: «Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции»

Цель урока: повторить тему «Квадратичная функция и её график», использовать её для решения задач, входящих в раздел «Алгебра » ОГЭ.

Задачи:

-образовательные: Повторить определение и свойства квадратичной функции, что могут показывать коэффициенты квадратного трёхчлена; рассмотреть задачи, входящие в ОГЭ по данной теме.

-развивающие: Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать, развивать память, активность и самостоятельность, способность к самоорганизации.

-воспитательные: Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата.

Тип урока: Урок систематизации знаний и умений.

Формы работы учащихся: Фронтальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: интерактивная доска, компьютер.

Ход урока:

1.Организационный момент. (2-3 минуты)

2. Постановка целей урока. (1 мин.) (Формулировка цели урока)

3. Актуализация знаний. (10 мин)

4. ( тренинг) Фронтальная работа с использованием интерактивной доски. (12 мин)

3. Повторим определение квадратичной функции. (определение на интерактивной доске.)

3.1 Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у=ах2 + bх + с, где а, b, с — некоторые числа, причём а не равно нулю.

3.2 Обобщение и уточнение материала: (беседа после постановки проблемного вопроса).

Проблемный вопрос: какую информацию можно получить о графике квадратичной функции, зная коэффициенты квадратного трёхчлена.

(На интерактивной доске установить соответствие между знаками коэффициентов а и с и дискриминанта с расположением графика функции на координатной плоскости).

3.3 Как зависит расположение параболы в системе координат от коэффициентов a, b и c?

Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы (как?)

Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы (как?)

Если b = 0, то где расположена вершина параболы? (лежит на оси ОУ).

Коэффициент с влияет на пересечение параболы с осью ОУ и расположением вершины графика относительно оси ОХ – ниже, если с меньше нуля и выше, если с больше нуля.

Помним, что если с < 0, то график расположен ниже оси х, если с > 0, то выше. То же самое должно быть и с b, только относительно оси y

4.1 Задание: (фронтально) Расположение параболы в системе координат в зависимости от коэффициентов:

Найдите правильный ответ:

1) Если коэффициент а > 0, то…. (ветви – вверх)

2) Если коэффициент а < 0, то…. (ветви – вниз)

3) Если коэффициент с > 0, то… (парабола пересекается с осью ОУ выше оси ОХ)

4) Если коэффициент с < 0, то … (парабола пересекается с осью ОУ ниже оси ОХ)

5) Коэффициент b влияет на смещение вершины параболы вдоль оси ОХ

4.2 (Слайды из презентации, или рисунки на доске):

Физкультминутка: (показать на материале 4.3. Движение рук, туловища, глаз)

4.3 Провести повторение вышеизложенного материала по слайдам:

«Зависимость расположения графиков квадратичной функции от

кооффициентов»

Урок алгебры в 9 классе

4.4 Фронтальная работа на интерактивной доске на установление соответствия с пояснениями – повторение зависимости пересечений графика с осями координат от дискриминанта квадратного трёхчлена.

Разработала учитель математики

Мезрина Марина Владимировна

Повторить алгоритм построения графика квадратичной функции и построить график функций. Работа в парах с объяснением и взаимопроверкой:

у = х2 + 2х — 8;

1. Постройте график функции (указанной функции) и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наименьшее значение функции;

д) область значения функции.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.

– Перечислите свойства функции у= ах2 + bх+ с при а > 0 и при а < 0.

–Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

Рефлексия. Выбери утверждение, которое соответствует тому, как тебе работалось на уроке. Выведены на интерактивную доску.

1) Мне было всё понятно, я смог повторить теоретический материал и могу решать задачи без посторонней помощи.

2) Я вспомнил теоретический материал, решил задачи, но некоторые задачи требуют посторонней помощи.

3) Я плохо знаю теоретический материал, не смог его вспомнить и не могу решать задачи по данной теме.

Домашнее задание:

№ 127 (б), № 128.

Д о п о л н и т е л ь н о выполнить задания по вариантам:

(Раздаточный материал: 8 карточек с заданиями по 2-4 вариантам)

В а р и а н т 1 (четыре карточки)

1.Найдите координаты вершины параболы: а) у = -х2- 4х + 1 б) у = 3х2 — 12х + 22.

Постройте график функции у = х2 — 6х + 4 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наименьшее значение функции;

д) область значения функции.

В а р и а н т 2 (четыре карточки)

1.Найдите координаты вершины параболы: а) у= -х2 + 6х + 3 б) у = 4х2 — 8х — 1

2.Постройтеграфик функции у = х2 + 4х + 2 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наибольшее значение функции;

д) область значения функции.

Использована литература:

1. Учебник для общеобразовательных организаций:

Алгебра 9 класс, под редакцией С.А. Теляковского, 4-е издание, Москва

«Просвещение» 2017 г.

2. Тесты: «Алгебра 9 класс» (М.: Мнемозина), издательство «ЭКЗАМЕН»

Москва 2016 г.

3. Интернет-ресурсы: videouroki.net

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

  • Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
  • Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»
  • Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»
  • Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»
  • Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):

.

Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g'(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g'(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности:

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

Пример 7. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 8. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Вычислить

Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 10. Вычислить

Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

Пример 11. Вычислить

Решение. Получаем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: .

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Весь блок «Производная»

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

  1. Деление 0 на 0 00;
  2. Деление одной бесконечности на другую ∞∞;
  3. 0, возведенный в нулевую степень 00;

  4. бесконечность, возведенная в нулевую степень ∞0.

Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

  1. С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
  2. С помощью замечательных пределов;

  3. С помощью правила Лопиталя;

  4. Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность Метод раскрытия неопределенности
1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin(kx)kx или kxsin(kx) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в 00 или ∞∞ с последующим применением правила Лопиталя
4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела
5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства limx→x0ln(f(x))=lnlimx→x0f(x)

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Пример 1

Вычислите предел limx→1×3+3x-1×5+3.

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32

Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32.

Пример 2

Вычислите предел limx→0(x2+2,5)1×2.

Решение

У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставитьx=0.

(x2+2,5)x=0=02+2,5=2,5

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1×2=x-2. Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞

Таким образом, можно записать, что limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞.

Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0, и получаем:

limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞=+∞

Ответ: limx→0(x2+2,5)1×2=+∞.

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Пример 3

Вычислите предел limx→1×2-1x-1.

Решение

Выполняем подстановку значений.

limx→1×2-1x-1=12-11-1=00

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

limx→1×2-1x-1=00=limx→1(x-1)·(x+1)x-1==limx→1(x-1)·(x+1)·(x+1)x-1=limx→1(x+1)·x-1==1+1·1-1=2·0=0

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: limx→1×2-1x-1=0

Пример 4

Вычислите предел limx→3x-312-x-6+x.

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

limx→3x-312-x-6+x=3-312-3-6+3=09-9=00

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12-x+6+x:

limx→3x-312-x-6+x=00=limx→3x-312-x+6+x12-x-6+x12-x+6+x

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→3x-312-x-6+x=-3.

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Пример 5

Вычислите предел limx→1×2+2x-33×2-5x+2.

Решение

Выполняем подстановку.

limx→1×2+2x-33×2-5x+2=12+2·1-33·12-5·1+2=00

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x, равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0, то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х-1,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

x2+2x-3=0D=22-4·1·(-3)=16⇒x1=-2-162=-3×2=-2+162=1⇒x2+2x-3=x+3x-1

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

3×2-5x+2=0D=-52-4·3·2=1⇒x1=5-12·3=23×2=5+12·3=1⇒3×2-5x+3=3x-23x-1

Мы получили предел следующего вида:

limx→1×2+2x-33×2-5x+2=00=limx→1x+3·x-13·x-23·x-1==limx→1x+33·x-23=1+33·1-23=4

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→1×2+2x-33×2-5x+2=4.

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0, то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, limx→∞(x4+2×3-6)=limx→∞x4=∞ или limx→∞x4+4×3+21×2-115=limx→∞x45=∞.

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x→∞ у нас возникает неопределенность вида ∞∞. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на xmax(m,n). Приведем пример решения подобной задачи.

Пример 6

Вычислите предел limx→∞x7+2×5-43×7+12.

Решение

limx→∞x7+2×5-43×7+12=∞∞

Степени числителя и знаменателя равны 7. Делим их на x7 и получаем:

limx→∞x7+2×5-43×7+12=limx→∞x7+2×5-4x73x7+12×7==limx→∞1+2×2-4×73+12×7=1+2∞2-4∞73+12∞7=1+0-03+0=13

Ответ: limx→∞x7+2×5-43×7+12=13.

Пример 7

Вычислите предел limx→∞x8+113×2+x+1.

Решение

limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞

Числитель имеет степень 83, а знаменатель 2. Выполним деление числителя и знаменателя на x83:

limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞=limx→∞x8+113x83x2+x+1×83==limx→∞1+11x831x23+1×53+1×83=1+11∞31∞+1∞+1∞=1+030+0+0=10=∞

Ответ: limx→∞x8+113×2+x+1=∞.

Пример 8

Вычислите предел limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123.

Решение

limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=∞∞

У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 103. Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x103:

Ответ: limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=0.

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

  1. Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

  2. Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

  3. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Линейная функция и ее график

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :

2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:

  • если , то график наклонен вправо
  • если , то график наклонен влево

Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

  • если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси
  • если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси

На рисунке ниже изображены графики функций ; ;

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ;

На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций ; ;

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:

Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:

Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:

Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:

Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции равны

Если b=0, то график функции проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения выглядит так:

Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции параллелен графику функции , если

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции перпендикулярен графику функции , если или

6. Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой .

3. Постройте график уравнения

Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя.

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :

4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид

б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда .

Следовательно, наша функция имеет вид: .

5. Постройте график функции

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .

Тогда наша функция принимает вид:

То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Урок математики по теме «Число 0. Цифра 0». 1-й класс

Цель. 1. Сформировать представление о числе 0, способность к его записи, изображению на числовом отрезке, сравнению, сложению и вычитанию с 0.

2. Тренировать навыки счета в пределах 9, мыслительные операции, речь, творческие способности.

1.Оргмомент.

-Прозвенел звонок,

Начинается урок.

— Сядем удобно, улыбнемся нашим гостям и друг другу.

— Напоминаю вам простые правила поведения:

— вести себя спокойно, но не отсиживаться;

— не выкрикивать (громко – это не значит красиво);

— быть думающими (для этого у вас есть голова на плечах);

— быть терпеливыми, дать возможность высказаться своим товарищам;

— задания выслушивать до конца.

— Вспомним наш девиз: “Хочу всё знать!” и скажем нашим гостям, зачем мы пришли в школу. (Чтобы получить новые знания.)

2. Актуализация знаний и фиксирование затруднения.

— Итак, выясним, что уже знаем по данной теме. Но кто это пришел к нам на урок? Это зайчик Степа. Он очень хочет научиться считать. Поможем ему?

— Задание.1 “Угадай и покажи, о какой цифре идет речь?”

(У каждого ребенка набор цифр о 1 до 9)

Никак не может наклониться

Прямая цифра __________ (единица)

Отличите вы едва

Лебедя от цифры _________ (два)

Спинка стула смотрит вниз,

Ножки кверху поднялись.

Но беспорядка нет в квартире,

Знают все – это ___________ (четыре)

Коль нет косы, совет наш всем:

Траву косите цифрой ___________ (семь)

Вас подтвердить, ребята, просим,

Что снеговик похож на __________ (восемь)

Эта цифра непростая:

Не то головастик, не то запятая (девять)

— Прочитайте получившийся ряд чисел. (Получился ряд чисел: 1, 2, 4, 7, 8, 9.)

— Какие числа пропущены?

— Молодцы! Зайчик Степа повторил вместе с вами числа, а тетерь следующее задание.

3адание 2.

— Назови число, которое стоит за числом 5?

— На сколько каждое последующее число больше предыдущего?

— Назови число, которое стоит перед числом 7.

— Насколько каждое предыдущее число меньше последующего?

— Какое число стоит между числами 2 и 4?

— Что меньше — 5 или 6? Почему?

— На сколько 6 меньше 5?

— Ну как, Степа, ты доволен ответами ребят? Они молодцы, все правильно отвечали.

3. Создание проблемной ситуации.

— Первый шаг мы преодолели, повторили то, что нам понадобиться для открытия нового знания. Чего мы ещё не знаем? (Мы не знаем много новых чисел).

-Верно, в математике много чисел. И нам надо узнать и помочь зайчику Степе узнать новые числа . Сейчас я дам задание потруднее. А почему потруднее? (Чтобы узнать что-то новое.)

— Посчитайте. Сколько треугольников на доске? (3) Убираю по одному. А сейчас? (нисколько 0)

— Сколько точек на кости домино? ( пусто-пусто)

— Сколько яблок может вырасти на сливе? (ни одного). —

-Так как можно обозначить “нисколько”, “ни одного”?

-Вставьте в окошко числа, чтобы выражения были равными:

4+2=3+ _

7+2=6+_

4+1=5+ _

— Какое число нужно вставить? Какой цифрой обозначим? Что получили? (Затруднение)

— Обозначим значком затруднение.

4. Самоопределение к деятельности. Определение темы урока.

— Положите перед собой на парте 3 треугольника. Какой цифрой обозначим? (3)

-Уменьшите количество треугольников на 1. Сколько осталось? Какой цифрой обозначим? (2)

— Где место числа 2 в числовом ряду? (Перед 3).

— Уменьшите количество треугольников на 1. Сколько осталось? (1)

-Какой цифрой обозначим? Где место числа 1 в числовом ряду? (Перед 2).

— Уменьшим количество треугольников на 1. Сколько останется? (Нисколько.)

— Какой наш третий шаг? ( Сам найду способ узнать.)

— Как называется число, которое в математике обозначает это количество? (Ноль.)

— Определите тему урока.

5. Открытие новых знаний

а) Введение числа и цифры 0.

— На что похож ноль? (Ответы детей.)

— Ноль собой весьма хорош,
На бараночку похож
И на бублик, и на шар,
И на круглый самовар.
Нолик дружит с колобком.
Жить не скучно им вдвоем.

— Как получили 0?

— Покажите 0 квадратов, 0 кружков. (Дети ничего не показывают.)

— Вернемся к затруднению. Какое число вставим? ( 0).

6. Физминутка.

— А теперь отдохнем. Разминку проведет зайка Степашка.

Бегать я могу вприпрыжку,
Ты меня увидишь в книжке.
Длинноухого поймай-ка,
Я весёлый, быстрый зайка!
Руки вверх, вперёд и вниз,
Улыбайся и садись.

Зайчик Степа тоже сядет за парту и будет внимательно нас слушать.

7. Работа по учебнику.

1)- Откройте учебник на с. 30. На какой вопрос мы должны ответить?

— Мы ответили на него? (Обозначим с помощью цифры 0).

2) –Рассмотрите картинки ниже.

-Прочитайте равенства.

-Какое равенство подходит к картинкам? (5-5=0)

— Составьте рассказ по другим картинкам.

3) –Рассмотрите следующие картинки. Расскажите, что было. Сколько было листиков на дереве ? сколько осталось? Что случилось?

-Как получили 2?

— Что меньше, 2 или 3, на сколько? Поставим знак “меньше”.

-Что случилось потом? (Оторвался ещё один листик. Остался 1).

— Как получили 1? (2-1=1)

— Что меньше, 1 или 2? Какой знак поставим? (1 меньше 2)

-Что случилось потом? (Оторвался ещё один листик, ни одного не осталось.)

-Каким числом обозначим? Как получили 0? (1-1=0)

— Что меньше? (0 меньше 1)

— Где место 0 в числовом ряду?

— Какое число самое маленькое?

Вывод: О самое маленькое число. Место в числовом ряду перед 1.

4) Работа в парах.

— Составьте рассказ по картинке вверху страницы 31. (Бабушка испекла 4 пирожка. За обедом съели все пирожки. Ни одного не осталось.)

-Какое выражение составим? (4-4=0)

— Каким числом обозначим количество оставшихся пирожков? ( Числом 0 )

— Где место числа 0?

8. Работа в тетрадях.

— А сейчас мы будем учиться писать цифру 0 и научим зайку Степу. Рассмотрите в учебнике, как правильно писать эту цифру.

1) Игра “Моя вообразилия”

— На что похожа цифра 0?

Могу назвать его мячом
А хочешь, дыркой назовем,
А можно бубликом.
Почти что кругленьким.
Повернуть его ты можешь.
Головой поставить вниз.
Цифра будет все такой же,
Правда ведь, скажи?
Но как его ни назовем.
Он называется нулем!

2) Запись числа 0.

— Откройте тетради на с. 26. Сегодня мы научимся писать цифру 0. Послушайте стихотворение об этой цифре.

Ноль не значит ничего,
Но нельзя и без него.
Без нуля не обойтись,
Ты писать его учись.
Ты уже нарисовал
Аккуратненький овал?
Нету проще ничего:
Ноль похож на букву О.

— Обведите цифру 0 и напишите его до конца строки.

— Не забывайте сравнивать свою работу с образцом.

— Оцените свою работу. Обведите самую красивую цифру в кружок.

3) Самостоятельная работа.

— Обведите яблочки на тарелочках. Посчитайте их. Соедините каждую тарелочку с карточкой с цифрой.

— Обменяйтесь тетрадями. Оцените работу соседа. Кто выполнил работу правильно? Верните тетради.

— Сделаем вывод. Каким числом обозначили количество яблок на пустой тарелочке? ( 0 )

4) – Следующую работу выполним в парах.

— Рассмотрите картинки. Запишите в окошках нужные числа

— Проверим работу. Прочитайте полученные записи.

— Расскажите, как получили 0.

— Покажите зеленый сигнал, если вы правильно выполнили работу, если не правильно, то красный.

5) Закрепление изученного.

— Расскажите зайке Степе, о чём узнали на уроке.

— Мы познакомились с числом 0. Где мы увидим его на линейке?

— Какую фигуру видите на чертеже? (Отрезок.) Измерьте его длину. Запишите длину отрезка в клеточку.

— На сколько увеличили длину отрезка, если его длина стала равна 9см?

— Запишите результат в пустую клеточку.

— Начертите отрезок длиной 9см.

9. Физминутка.

Спал цветок и вдруг проснулся,
Больше спать не захотел.
Шевельнулся, потянулся,
Взвился вверх и полетел.
Солнце утром лишь проснётся,
Бабочка кружится, вьётся.

10. Закрепление изученного.

1) Игра “Круговые примеры”. (Учебник, с. 71).

— Зайка Степа летом дружил с бабочками и весело играл с ними. А теперь мы научим его новой игре.

— Решите примеры. Что заметили? ( Ответ предыдущего примера является началом следующего.) Такие примеры называют круговыми.

2) Работа с геометрическим материалом.

— Рассмотрите чертежи. Какие фигуры вы видите?

— Сколько здесь многоугольников? Какие это многоугольники?

— Сколько ломаных?

3) Задания на полях.

А) Состав чисел.

— Заполните пустые клетки.

Б) Бабочки.

— Сравните бабочки. Что заметили?

11. Рефлексия. Подведение итогов.

— Какая была цель урока?

— Удалось ли нам преодолеть затруднения?

— Какое знание мы открыли?

— Где мы можем применить эти знания?

— Скажите, чего у нас в классе 0?

— Удалось ли вам достичь цели урока?

— Оцените свою работу на уроке на лесенке успеха. ( Оценить учащихся).

— Что показалось наиболее интересным?

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наверх